面试题62. 圆圈中最后剩下的数字

约瑟夫环问题

0,1,,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。



示例 1：

输入: n = 5, m = 3
输出: 3
示例 2：

输入: n = 10, m = 17
输出: 2

来源：力扣（LeetCode）
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我们将上述问题建模为函数 f(n, m)，该函数的返回值为最终留下的元素的序号。

首先，长度为 n 的序列会先删除第 m % n 个元素，然后剩下一个长度为 n - 1 的序列。那么，我们可以递归地求解 f(n - 1, m)，就可以知道对于剩下的 n - 1 个元素，最终会留下第几个元素，我们设答案为 x = f(n - 1, m)。

由于我们删除了第 m % n 个元素，将序列的长度变为 n - 1。当我们知道了 f(n - 1, m) 对应的答案 x 之后，我们也就可以知道，长度为 n 的序列最后一个删除的元素，应当是从 m % n 开始数的第 x 个元素。因此有 f(n - 1, m) = (m % n + x) % n = (m + x) % n。

我们递归计算 f(n, m), f(n - 1, m), f(n - 2, m), … 直到递归的终点 f(1, m)。当序列长度为 1 时，一定会留下唯一的那个元素，它的编号为 0。

下面的代码实现了上述的递归函数。

class Solution {
    int f(int n, int m) {
        if (n == 1)
            return 0;
        int x = f(n - 1, m);
        return (m + x) % n;
    }
public:
    int lastRemaining(int n, int m) {
        return f(n, m);
    }
};