365. 水壶问题

有两个容量分别为 x升 和 y升 的水壶以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶，从而可以得到恰好 z升 的水？

如果可以，最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的 z升 水。

你允许：

装满任意一个水壶
清空任意一个水壶
从一个水壶向另外一个水壶倒水，直到装满或者倒空
示例 1: (From the famous "Die Hard" example)

输入: x = 3, y = 5, z = 4
输出: True
示例 2:

输入: x = 2, y = 6, z = 5
输出: False

来源：力扣（LeetCode）
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方法二：数学
思路及算法

预备知识：贝祖定理

我们认为，每次操作只会让桶里的水总量增加 x，增加 y，减少 x，或者减少 y。

你可能认为这有问题：如果往一个不满的桶里放水，或者把它排空呢？那变化量不就不是 x 或者 y 了吗？接下来我们来解释这一点：

首先要清楚，在题目所给的操作下，两个桶不可能同时有水且不满。因为观察所有题目中的操作，操作的结果都至少有一个桶是空的或者满的；

其次，对一个不满的桶加水是没有意义的。因为如果另一个桶是空的，那么这个操作的结果等价于直接从初始状态给这个桶加满水；而如果另一个桶是满的，那么这个操作的结果等价于从初始状态分别给两个桶加满；

再次，把一个不满的桶里面的水倒掉是没有意义的。因为如果另一个桶是空的，那么这个操作的结果等价于回到初始状态；而如果另一个桶是满的，那么这个操作的结果等价于从初始状态直接给另一个桶倒满。

因此，我们可以认为每次操作只会给水的总量带来 x 或者 y 的变化量。因此我们的目标可以改写成：找到一对整数 a, ba,b，使得

ax+by=z
ax+by=z

而只要满足 z\leq x+yz≤x+y，且这样的 a, ba,b 存在，那么我们的目标就是可以达成的。这是因为：

若 a\geq 0, b\geq 0a≥0,b≥0，那么显然可以达成目标。

若 a\lt 0a<0，那么可以进行以下操作：

往 y 壶倒水；

把 y 壶的水倒入 x 壶；

如果 y 壶不为空，那么 x 壶肯定是满的，把 x 壶倒空，然后再把 y 壶的水倒入 x 壶。

重复以上操作直至某一步时 x 壶进行了 aa 次倒空操作，y 壶进行了 bb 次倒水操作。

若 b\lt 0b<0，方法同上，x 与 y 互换。

而贝祖定理告诉我们，ax+by=zax+by=z 有解当且仅当 zz 是 x, yx,y 的最大公约数的倍数。因此我们只需要找到 x, yx,y 的最大公约数并判断 zz 是否是它的倍数即可。

作者：LeetCode-Solution
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class Solution {
public:
    bool canMeasureWater(int x, int y, int z) {
        if (x + y < z) return false;
        if (x == 0 || y == 0) return z == 0 || x + y == z;
        return z % gcd(x, y) == 0;
    }
};

作者：LeetCode-Solution
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